結局最初に設定していたFeedBurnerではアイキャッチが取得されませんでした。
RSSにはちゃんと取得されるよう設定を変えたり、プラグインで画像のURLを相対パスではなく絶対パスに変えたら上手くいくと書かれていたので参考にしましたがそれも駄目。
結局は
Social Networks Auto-Poster
と言うプラグインで一発解決となりました。
以下のページの説明がとても参考になりました。
ツイッターのAPIキーの作成ページが英語だったのであせりましたが。。。
Social Networks Auto-Poster – 複数のソーシャルメディアに自動投稿できるWordPressプラグイン
なんにせよこれにて一件落着!
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